Was ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit?  

Aus der Schule kennt man euklidische Räume: flache Geometrie, Pythagoras, gerade Linien. Das funktioniert prima, solange die Welt wirklich flach ist. Sobald man allerdings auf einer Kugeloberfläche navigiert oder Robotergelenke beschreibt, stößt diese Geometrie an ihre Grenzen. Ein Beispiel: Die Menge aller möglichen Orientierungen eines Greifers im 3D-Raum bildet selbst einen gekrümmten Raum. Man kann Orientierungen nicht einfach addieren wie Zahlen. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit verallgemeinert das. Es entsteht ein Raum, der lokal flach wirkt, global aber gekrümmt sein kann und auf dem man trotzdem Abstände, Winkel und kürzeste Wege sinnvoll definieren kann. 

Warum ist das für die Robotik relevant? 

Der Konfigurationsraum eines Roboters ist geometrisch komplex. Wenn man euklidisch rechnet, gibt es systematische Fehler. Auch Orientierungen im Raum, also wie ein Greifer oder Werkzeug ausgerichtet ist, bewegen sich in einer gekrümmten Geometrie, nicht in einem flachen Raum. Die für einzelne Aufgaben zuständigen Regler müssen das berücksichtigen, sonst entstehen Fehler bei der Berechnung von Orientierungen und Ausweichbewegungen. Beruht die Bewegungsplanung auf Mannigfaltigkeiten, lassen sich physikalisch natürliche, energieeffiziente Trajektorien ermitteln. 

Wie kommt die Mathematik in den Roboter? 

Ist der mathematische Rahmen erst einmal klar und weiß man, was man implementieren möchte, ist der wichtigste Schritt für das Coding schon getan. Der Code läuft dann direkt auf dem Steuerrechner des Roboters. 

Weitere Informationen 

Riemannian Manifold in Robot Learning, Optimization, and Control von Noéme Jaquier und Leonel Rozo; mit Beiträgen von Hans-Peter Schröcker, Arne Sachtler, Soren Hauberg, Andra Kupcsik, Survit Sra und Alin Albu-Schäffer; Cambridge University Press, Veröffentlichung 2027 geplant; Information and Vorab-PDF: https://github.com/Riemannian-Robotics/Book

Text: Andreas Schmitz